Annales 2013 15E

[Chumchum]

Salut,

j'ai un problème avec cet item.


Cet item est corrigé vrai, alors que selon la formule qui est donnée dans le cours, à la place du "10" il devrait y avoir l'estimation de la variance de la population non ?


(J'sais pas si ma question est clair ou pas...)

[Amna]

[quote="Chumchum"]
Salut,

j'ai un problème avec cet item.


Cet item est corrigé vrai, alors que selon la formule qui est donnée dans le cours, à la place du "10" il devrait y avoir l'estimation de la variance de la population non ?


(J'sais pas si ma question est clair ou pas...)
[/quote]
 
 
Salut ! 
 
<p style="margin:0px 0px 11px;">Alors oui en effet je pense que tu as raison.
<p style="margin:0px 0px 11px;">La formule de l’intervalle de confiance quand on a un échantillon > 30 (ici c’est le cas vu que l’échantillon est de 100) est : [moyenne +/- Nα . S_​m]
<p style="margin:0px 0px 11px;">Sachant que la moyenne c’est celle donnée dans l’énoncé et S_​m correspond à l'estimation de l'écart-type de la variable aléatoire, calculée à partir de l’estimation de l’écart-type de la population qui va être calculé à partir de l’écart-type de l’échantillon. Je vais expliquer avec des calculs, parce que la je sens que ça commence à devenir compliqué    
<p style="margin:0px 0px 11px;">Données de l'énoncé : moyenne dans l’échantillon DS = 5 et variance  dans l'échantillon S_DS^​2 = 10
<p style="margin:0px 0px 11px;">On sait que S_m²​ = S_x²​/n
<p style="margin:0px 0px 11px;">Ce qui équivaut à S_m = S_x/√n (parce que nous on cherche l’écart-type)
<p style="margin:0px 0px 11px;">​Le problème c'est que dans notre énonce, on nous donne simplement la variance de l'échantillon. Donc on va d'abord s'occuper d'estimer de la variance de la population et après on aura juste à mettre la racine pour en déduire l’estimation de l’écart-type de la population (S_x) :
<p style="margin:0px 0px 11px;">S_x²= n/n-1 . Var(X)
<p style="margin:0px 0px 11px;">On sait que n = 100, donc n-1= 99 et Var(X) = S_DS^​2 ​ = 10 :
<p style="margin:0px 0px 11px;">S_x²= 100/99 . 10
<p style="margin:0px 0px 11px;">On remplace ce qu’on a obtenu dans la formule du dessus :
<p style="margin:0px 0px 11px;">S_m²​= S_x²/n = [(100/99 x 10) / 100] = [(1000/99) x (1/100)] = 10/99
<p style="margin:0px 0px 11px;">Donc maintenant on a juste à ajouter une racine pour obtenir S_m :
<p style="margin:0px 0px 11px;">S_m= S_m²​ = √10/99
<p style="margin:0px 0px 11px;"> 
<p style="margin:0px 0px 11px;">​Donc au final, l'item E est faux et c'est l'item D qui est vrai.
<p style="margin:0px 0px 11px;"> 
<p style="margin:0px 0px 11px;">​Petit rappel et quelques petites astuces pour tous ceux qui passent par la 
<p style="margin:0px 0px 11px;">-La variance et l'écart-type de la population sont toujours estimés à partir de l'échantillon.
<p style="margin:0px 0px 11px;">​-L'écart-type c'est la racine carré de la variance (On fait attention aux unités, si on mesure quelque chose en kg, la variance sera exprimé en kg²​mais l'écart-type sera exprimé en kg)
<p style="margin:0px 0px 11px;">​-La formule de base c'est :
<p style="margin:0px 0px 11px;">S_x²= n/n-1 . Var(X)
<p style="margin:0px 0px 11px;">Si vous connaissez la variance de l'échantillon Var(X) vous pouvez en déduire l'estimation de la variance de la population (S_x²​​) et aussi l'estimation de l'écart-type de la population (S_x​)
<p style="margin:0px 0px 11px;">-Si vous ne connaissez que l'estimation de la variance de la population (S_x²) et qu'on vous demande de calculer la variance de l'échantillon (Var(X)) mais que vous ne trouvez aucune formule dans le cours, on ne panique pas !
<p style="margin:0px 0px 11px;">On utilise seulement la formule du dessus S_x²= n/n-1 . Var(X) et on isole Var(X) :
<p style="margin:0px 0px 11px;"> Var(X) = n-1/n . S_x²
<p style="margin:0px 0px 11px;">Et donc grâce à ça, vous pouvez en déduire la variance et l'écart-type de l'échantillon
<p style="margin:0px 0px 11px;">Après pour toutes les autres formules (qu'il faut connaître sur le bout des doigts), il ne faut juste pas se tromper entre petit et grand échantillon, et aussi ne pas se tromper en lisant la table

[Chumchum]

D'accord merci pour la réponse !

[enilorac]

Wahou quelle RM <3